微分は「グラフの各点での傾き」を新しい関数として取り出す操作。x² の傾きは 2x、sin x の傾きは cos x。定数のグラフは真っ平らで傾きゼロだから、定数は微分されると 0 になって消滅する。∇（ナブラ）は場全体をまとめて1回微分、Δ（デルタ・ラプラシアン）は場全体を2回微分、d/dx は狙った基底1つだけを微分する。

戦術: 相手の場に定数が並んだら ∇ 一枚で焼き払える。sin・cos・eˣ は微分しても仲間に化けるだけで死なない。

積分は微分の逆で、「傾きがこの関数になるような元の関数」を探す操作。x² → x³/3、cos x → sin x。微分すると消える定数も、積分すると x が生えて復活する（0 だけは積分しても 0 のまま）。閉じた式で書けない積分（∫e^(−x²) など）は erf のような特殊関数の姿で場に乗り、計算機がそれでも書けない式のときはカードが戻ってくる。

戦術: 自分の瀕死の定数を ∫ で x に育て直す延命ができる。重ねがけ（∫∫）も一手。

「x をどこまでも大きくしたら（あるいは 0 に近づけたら）、関数の値はどこへ向かうか」を尋ねる操作。e⁻ˣ は 0 へ落ち着き（収束・基底は定数 0 になって消滅）、x² は無限大へ飛ぶ（発散消滅 — このゲームの必殺技）。sin x のように永遠に揺れて行き先が決まらないと振動反則、1/x の x→0 のように左右から近づけた答えが食い違っても反則。撃つ前に行き先を読むこと。

戦術: 発散させれば相手の基底を消せるが、読み違えると自分が反則負け。ハイリスク・ハイリターンの主砲。

sin x は 1 と −1 の間を永遠に揺れ続けるから、普通の極限は「決まらない」。でも山の高さの行き先と谷の深さの行き先なら決まる — それが上極限（lim sup = 1）と下極限（lim inf = −1）。振動する関数を反則なしで定数に潰せる、唯一の安全な極限カード。√(sin x) のように定義域が島状に途切れる関数には、島に沿って測る（lim sup = 1、lim inf = 0）。

戦術: 微分で死なず lim で反則になる sin・cos を、合法的に定数へ変えて仕留める職人カード。log(sin x) の lim inf は −∞ で発散消滅も狙える。

√ は「2乗すると元に戻る数」、log は「eˣ の逆」（log eˣ = x）。どちらも負の数には実数の答えがないので、負の値を取る関数に撃つと反則①。log 1 = 0 なので、定数 1 に log を当てると 0 になって消える。

戦術: 基底「1」に log を撃つと log 1 = 0 で即消滅。sin x に √ は負の谷で反則……に見えて、実は定義域が島になって生き残る（詳細ルール参照）。

y = f(x) を「x を y で表す」形に解き直したのが逆関数。eˣ の逆は log x、sin x の逆は arcsin x、x² の逆は √x。グラフで言うと y = x の斜め線で折り返す操作。定数はどこを折り返しても関数にならないので、定数への f⁻¹ は反則①。

戦術: 厄介な eˣ を log x に変えると、今度は lim x→−∞ が撃てない定義域になる。形勢の組み替えに。

ルールブックの「一ターンにつき一回カードを出すことが可能」の一語から生まれた手。カードを出さずに手番だけ渡す。両者が連続でパスするとその場で終局し、次元（基底の数）が多い方の勝ち。

戦術: 次元でリードしているとき、相手がパスしたら乗ってパス — それで勝ちが確定する。

0: 場に出すと即消滅する捨て札。×0 の材料にすると相手のどんな基底も一撃で消せる。1・定数: 微分に最弱、でも lim には不死身。x・x²: 微分で1段ずつ削れる。lim x→±∞ で発散。sin x・cos x: 微分では互いに化け合って死なない。lim ±∞ は振動反則、lim sup / lim inf だけが通る。eˣ: 微分・積分で不動の要塞。ただし lim x→−∞ で 0 に潰され、log で丸裸（log eˣ = x）にされる。

exp は基底 f を e^f に持ち上げる（log の逆演算）。0 になりかけの基底も e⁰ = 1 に化けて延命する。1/f は基底を逆数にする。x が 1/x になると lim x→∞ で 0 に落ちる — 発散しない消え方が生まれる。

定義: L[f](s) = ∫₀^∞ f(x)·e^(−sx) dx（x を 0 から ∞ まで積分し、s の関数として返す）。関数をまるごと「別の座標系」に写す変換で、写した先では微分が掛け算に化けるので、微分方程式を代数の計算に変えられる — 工学で大人気の道具。写ると姿が激変する: sin x → 1/(x²+1)、eˣ → 1/(x−1)、δ → 1。このゲームでは変換後の式の s をそのまま x に読み替えて、新しい基底になる。

戦術: 微分で死なない sin x を、微分で削れる有理式 1/(x²+1) に変えてしまう「転送装置」。

x = 0 にだけ立つ、幅ゼロで高さ無限の針。実は「関数」ではなく超関数という別の生き物で、掛け算すると相手の x = 0 での値だけを拾う: f(x)·δ = f(0)·δ。cos x を掛けても δ のまま（cos 0 = 1）、x を掛けると消滅（x = 0 で 0）。微分では死なない（δ′, δ″, … と針が増えていく）が、lim x→0 で 0 に潰されるのが弱点。√ や log や逆数は数学的に定義できないので反則。δ の正体を手で触りたい人は姉妹作 幅をゼロにしていく — δ関数が生まれるまで へ。シフトカード（第三弾）を持っていれば、針の位置そのものを x=1、x=2…や x=−1、x=−2…へ動かせる（δ(x) → δ(x+1) または δ(x−1)）。動いた針にも掛け算のサンプリングと lim x→0 の弱点はそのまま働く（台の位置での値を拾う・台が 0 からずれていれば lim x→0 は素通りして 0）。

戦術: 微分主体の相手には不沈艦。lim x→0 を持っている相手には出さない方がいい。シフトで針を動かせば、lim x→0 を避けて生き延びさせられる。

定義: M[f](s) = ∫₀^∞ f(x)·x^(s−1) dx（x を 0 から ∞ まで積分し、s の関数として返す）。ラプラス変換の指数 e^(−sx) を、べき乗 x^(s−1) に置き換えた親戚にあたる変換で、写った先の姿もやはり激変する。積分が収束する s の範囲（収束域）が無い関数（多項式など）は変換自体が成立せず、カードは手札に戻る。このゲームでは変換後の式の s をそのまま x に読み替えて、新しい基底になる。

戦術: ラプラス変換と同じ「転送装置」枠。手元の基底がラプラスでは変換できなくても、メリンなら通ることがある。

関数カードの一つ。原点で高さ1、両側へ離れるほど急激に0へ近づく釣鐘型のグラフ。常にプラスの実数値を取るので √ や log を安全に通せる。lim x→±∞ ではまっすぐ0に収束するので発散消滅は狙えないが、log を撃つと lim ±∞ で −∞ に発散させられる。×÷ の材料としても使える。

戦術: 相手の基底に掛けて急減衰させ、lim ±∞ での発散消滅を仕込む下ごしらえに向く。

定義: (f∗g)(x) = ∫₀ˣ f(t)·g(x−t) dt（0 から x まで積分。ラプラス変換と同じ 0〜∞ の流儀で、L[f∗g] = L[f]·L[g] になる、あの畳み込み）。同じ場にある基底を2枚選んで1枚の合成基底に統合する、「2枚を巻き込んで次元を直接1減らす」演算（f∘g 合成もこの仲間）。積分が閉じた形にならない組み合わせ（e⁻ˣ² 同士など）は計算できずカードが戻る。δ を含む基底は選べない。

戦術: 相手の場の基底2枚を選んで撃てば、反則のリスクなしで相手の次元をそのまま1減らせる。lim で発散を仕込んだり従属を作ったりする手間が要らない直接攻撃。自分の場に使うと自分の次元が減ってしまうので要注意。

関数のグラフを1目盛り左右へ平行移動する操作。x→x+1は f(x) を f(x+1) に（グラフは左へ1目盛り）、x→x−1は f(x) を f(x−1) に（グラフは右へ1目盛り）置き換える、互いに逆向きの2種のカード。形は変わらず、ただ位置だけがずれる。定義域ごと平行移動するので、負の数の領域に log や √ を追い込むと、その瞬間に反則①になる。δ(x) に使うと針の位置そのものが動く。

戦術: log x や √x のように片側にしか定義域がない基底を、相手の lim の狙いから外すのに使える。逆向きの2種があるので、一度ずらした位置を元に戻したり、狙った位置まで往復で調整することもできる。逆に自分の基底をうっかり定義域の外へ押し出すと自爆する。

定義: ∫₀^∞ f(x) dx（ラプラス変換・メリン変換と同じ 0〜∞ の流儀）。関数をまるごと1つの数へ押し潰す演算で、結果はその数値だけを持つ定数の基底になる。積分が ±∞ に発散すれば合法な消滅（次元が1減る）。sin x のように振動して収束しない場合は反則③。積分の値が実数にならない場合は反則①。sympy が閉じた形で計算できない場合はカードが手札に戻る（invalid）。δ を含む基底は、ちょうど積分区間の端 x=0 に台があるとみなされ扱いが規約依存になるため、このカードの対象外。

戦術: e⁻ˣ² のような急減衰の基底を数へ還元すれば安全に消せる。逆に sin x や cos x のように振動する基底に不用意に撃つと、自分が反則負けになる諸刃の剣。

関数 f と g を選んで f(g(x)) を作る合成演算。1枚目にクリックした基底が外側 f、2枚目が内側 gで、順序を入れ替えると別の式になる（sin x ∘ x² は sin(x²)、x² ∘ sin x は sin²x）。畳み込みと同じく基底2枚を1枚に統合するので次元が1減る。合成した結果の定義域が実数のどこにも存在しない、または複素になる組み合わせ（log(−x²) など）はその場で反則①。sympy が計算できない組み合わせや、δ を含む基底はカードが戻る（δ(g(x)) の根ごとの重み付けサンプリングは未対応のため対象外）。

戦術: 反則は演算した側（自分）の負けになるので、相手の基底へ撃つ場合でも組み合わせの危険性は自分の責任。log や √ を外側に選ぶときは、内側の値が常に正になる組み合わせを選ばないと自爆する。安全な組み合わせなら、畳み込みと同じくリスクなく相手の次元を1減らせる。

定義: x を ix（虚数単位 i を掛けた値）へ置き換えてから、実部だけを取り出す f(x) → Re(f(ix))。x や sin x はこの変換で 0 になり消滅する。cos x は振動したまま消えず、代わりに cosh x（発散する側）に化ける。eˣ は cos x に化ける。sympy が実部を閉じた形にできない組み合わせ（gamma(x) 等）はカードが戻る。δ を含む基底は対象外（複素引数の δ は定義できないため）。

戦術: cos x のように振動していて lim では発散させられない（振動は反則③になるだけで倒せない）相手の基底を、cosh x という発散する形に作り替えてから lim で仕留める、2段構えの攻め筋の要。x や sin x に自分で撃つと即座に自分の次元が減るので、狙う相手を間違えないこと。

定義: 同じく x → ix と置き換えてから、今度は虚部を取り出す f(x) → Im(f(ix))。1、x²、cos x はこの変換で 0 になり消滅する。sin x は sinh x（発散する側）に化け、eˣ は sin x に化ける。x はそのまま x に戻る（実質ノーオペ）。Re(f(ix)) と消える基底・化ける基底がちょうど入れ替わる関係。

戦術: Re版が通じない相手（sin x で粘っている等）にはこちらを差し向ける。1・x²・cos x を持つ相手を狙えば即座に次元を削れる。sin x を sinh x に変えてから lim で発散させる、Re版と対になる攻め筋も作れる。